Fermats Letzter Satz – Die Geschichte eines Rätsels

Mathematik ist nicht zwingend die wissenschaftliche Disziplin, die große Öffentlichkeit in Begeisterungsstürme versetzt. Völlig zu Unrecht, wie die Geschichte eines berühmten mathematischen Problems und dessen Lösung zeigt. Fermats letzter Satz – ein Problem, das der Amateurmathematiker Pierre der Fermat zu Beginn des 17. Jahrhunderts formulierte und das die Mathematiker dieser Welt beinahe 300 Jahre lang nicht zu knacken vermochten.

Kurzer Disclaimer: Keine Sorge, dieser Artikel enthält so gut wie keine Mathematik. Vielmehr geht es um die Geschichte um Fermats letzten Satz und um den letztendlichen Beweis. Tatsächlich ist es so, dass mathematische Probleme aus dem Bereich der Zahlentheorie für Laien sehr einfach zu verstehen  sind. Die Beweise allerdings sind oft unfassbar kompliziert und schwer zu erbringen. Das ist auch der Grund, warum Fermats letzter Satz so eine spannende Geschichte hinter sich herzieht.

Der mathematische Beweis

In der Mathematik spielt der Beweis eine entscheidende Rolle. Denn nur, wenn ein Satz bewiesen ist, kann er als Grundlage für die Entwicklung weiterer Sätze dienen. Dabei unterscheidet sich die Forschung in der Mathematik ganz entscheidend von der Forschung in anderen Disziplinen. So werden in den Naturwissenschaften Theorien aufgestellt, die nie einen Anspruch auf endgültige Richtigkeit haben können. Physiker beispielsweise führen Experimente und Messungen durch und formulieren daraus eine Theorie, die durch ihre Ergebnisse gestützt sind. Es ist aber jederzeit möglich und niemals auszuschließen, dass andere Messungen die Theorie widerlegen oder zumindest verändern.

In der Mathematik dagegen gilt es, definitive Beweise für Aussagen zu finden. Viele von uns werden sich noch an den Satz des Pythagoras erinnern. Der besagt, dass für jedes rechtwinklige Dreieck die Summe des Quadrates der anliegenden Seiten gleich dem Quadrat der langen Seite ist. Oder kurz gesagt: a² + b² = c². Pythagoras hat es geschafft, diesen Satz ein für allemal und endgültig zu beweisen. Damit kann er für immer als richtig angesehen werden und neue Sätze können formuliert werden, die auf dem Satz des Pythagoras aufbauen.

Pythagoras lebte etwa 570 v. Chr. im antiken Griechenland und war einer der ersten, der auf mathematische Art und Weise mit Zahlen hantierte. Anstatt sie bloß zum Zählen zu benutzen, betrachtete und untersuchte er sie als eigenständige Objekte sowie ihre Beziehungen zueinander. Er erkannte, dass Zahlen mehr waren als bloß Zeichen, um die physische Welt zu beschreiben und gründete sogar eine Schule, in der er mit seinen Schülern die Zahlen und ihre Natur erforschte.

Der König der Amateure

Etwa 2000 Jahre nach Pythagoras lebte der Amateurmathematiker und französische Richter Pierre de Fermat. Inzwischen hatte sich in der Welt und auch in der Welt der Mathematik eine Menge verändert. Die Bibliothek von Alexandria war zerstört worden und mit ihr Unmengen an Wissen, das in der Antike entstanden war. Im Mittelalter spielte die Mathematik keine große Rolle und nur sehr wenige beschäftigten sich überhaupt mit ihr. Anfang des 17. Jahrhunderts änderte sich das wieder und die Mathematik begann, wieder zu erblühen.

Ein Werk, das die Vernichtung der Bibliothek von Alexandria überlebt hatte, war ein Teil der „Arithmetica“ des Diophantos von Alexandria. Ein umfassendes Werk zur Zahlentheorie, das Pierre de Fermat in die Hände gefallen war. Der Hobby-Mathematiker arbeitete eigentlich als Richter und widmete sich in seiner Freizeit der Mathematik, formulierte Sätze und bewies diese. Dabei ging es ihm  als Amateurmathematiker nicht darum, seine durchaus genialen Beweise zu veröffentlichen. So begnügte er sich in der Regel mit dem Wissen darum, den Beweis für etwas gefunden zu haben und kehrte dann weiter zur nächsten Herausforderung.

Fermats Letzter Satz

In der Arithmetica des Diophantos von Alexandria stieß Fermat auch auf den Satz des Pythagoras sowie den Beweis dafür, dass es eine unendliche Anzahl an pythagoreischen Zahlentripeln gibt. Diese Tripel sind Kombinationen aus drei Zahlen, für die die Gleichung a² + b² = c² gilt. Dabei spielte er etwas mit der Gleichung und erhöhte aus einer Laune heraus die Potenz von 2 auf 3. Schon stellte er fest, dass es für a³ + b³ = c³ extrem schwierig war, drei Zahlen zu finden, auf die diese Gleichung zutraf. Auch für höhere Potenzen ließen sich keine Zahlentripel finden. Damit war Fermats letzter Satz geboren. Demnach ist es nicht möglich, für die Gleichung  a_n + b_n = c_n drei Zahlen zu finden bei einer Potenz n höher als 2.

Aber wir erinnern uns: In der Mathematik hat ein Satz erst dann wirklich Gewicht, wenn dieser einwandfrei Bewiesen ist. Nur dann lassen sich auf seiner Basis neue Beweise erstellen. Die Tatsache, dass Fermat keine Tripel für diese Gleichung finden konnte, bedeutete nicht automatisch, dass es keine gab. Es musste erst einwandfrei bewiesen werden. Die Ausgabe der Arithmetica in Fermats Besitz hatte allerdings sehr breite Ränder. Fermats Sohn fand damals folgende Notiz und veröffentlichte sie nach dessen Tod zusammen mit seinen übrigen Mathematischen Werken.

„Es ist jedoch nicht möglich, einen Kubus in 2 Kuben, oder ein Biquadrat in 2 Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in 2 Potenzen mit ebendemselben Exponenten zu zerlegen: Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

– Pierre de Fermat

Fermats letzter Satz war geboren!

Andrew Wiles und Fermats letzter Satz

Weitere dreihundert Jahre nach Pierre de Fermat lebte der britische Mathematiker Andrew Wiles. Dieser hatte schon als Kind eine große Vorliebe für mathematische Knobeleien und war immer auf der Suche nach neuen Herausforderungen. Irgendwann stieß er in einem Buch auf Fermats letzten Satz und merkte schnell, dass es nicht einfach war, eine Lösung für diesen zu finden. Er biss sich förmlich die Zähne daran aus, den Beweis, den der Franzose angeblich vor etwa 300 Jahren schon gefunden hatte, zu finden. Schließlich widmete er sein ganzes Leben dem Studium der Mathematik und arbeitete an dem Beweis. Fermats letzter Satz war eine harte Nuss und vor dem endgültigen Beweis verbrachte Andrew Wiles sieben Jahre sehr zurückgezogen, um an dem Beweis zu arbeiten. Schlussendlich gelang ihm das, was etlichen Mathematikern vor ihm nicht geglückt war. Er fand den Beweis und Fermats letzter Satz war damit endlich bewiesen.

Allerdings war ihm in seinem Beweis ein Fehler unterlaufen. Man mag sich gar nicht vorstellen, wie es sich anfühlt nach sieben Jahren harter Arbeit, einen Fehler zu finden, der alles zum Wanken bringt. Das nun folgende Jahr 1994 sollte zur Hölle für Wiles werden und er arbeitete fieberhaft daran, seinen Beweis zu vervollständigen. Letzten Endes gelang ihm das auch und er schaffte es, die Lücke in seinem Beweis zu schließen. Damit war Fermats letzter Satz nun endgültig bewiesen. Und mit ihm ein Rätsel, dass auf die mathematischen Errungenschaften des antiken Griechenlands zurückgeht. Ein Rätsel, dessen Antwort die Mathematik 300 Jahre auf Trab gehalten hat und dessen Lösung erst gewaltige Fortschritte in der Mathematik brauchte.

Fermats letzter Satz von Simon Singh

Wer sich noch ausführlicher für die Geschichte um Fermats letzten Satz interessiert, der sollte sich das Buch von Simon Singh besorgen (Provisionslink). Er beschreibt die Geschichte des Satzes und mit ihr eine extrem interessante Geschichte der Mathematik von den alten Griechen bis in die heutige Zeit.

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